今有勾五步,股一十二步。问勾中容方几何?
术曰:并勾、股为法,勾股相乘为实,实如法而一,得方一步。
汉《九章算术·勾股》
【评】此为勾股容方问题。已知勾a,股b,则所容正方形边长d=。是为中国古代勾股算术中一类重要问题。
勾股相乘为朱、青、黄幂各二①。令黄幂袤于隅中。朱、青各以其类,令从其两径,共成修之幂。方中黄为广,并勾股为袤②。故并勾股为法。
《九章算术·勾股》三国魏·刘徽注
〔注〕①黄幂即勾股形所容之正方形。朱、青分别是该正方形一边与勾、股剩馀部分所构成的小勾股形。以勾、股为边的长方形含有朱、青、黄幂各二个。②将此长方形变成以正方形一边长为广,勾股相并为从的长方形,其面积不变。
【评】此为刘徽所记以出入相补原理对《九章算术》勾股容方公式的证明。
幂图〔原本讹作“圆”,戴震校正〕方在勾中,则方之两廉各自成小勾股袤,而其相与之势不失本率也①。勾面之小勾、股,股面之小勾、股,各〔原本脱“股”上之“勾”字及“小勾股各”凡五字,“勾面”讹作“勾中”,依意校补〕并为中率。令股为中〔原本此处衍“方”字,今依上、下文删〕率,并勾、股为率〔原本脱“率”字,依意补〕,据见勾五步而今有之,得中方也②。复令勾为中率,以并〔原本脱“并”字,戴震补〕勾股为率,据股十二步而今有之,则中方又可知〔“可知”,原本讹作“何如”,戴震校正〕。此则虽不效而法,实有法由生矣。
《九章算术·勾股》三国魏·刘徽注
〔注〕①此即相似勾股形对应边成比例的原理,即a∶b∶c=a′∶b′∶c′,是为中国古代解勾股形和测望问题的重要原理。②这里用到合比定律,若,则,由于此处a′+b′=b,a′=d,故。
【评】此为刘徽用勾股形“相与之势不失本率”的原理及合比定律证明《九章算术》的勾股容方公式。
勾股旁要法曰(直田斜解勾股二段,其一容直,其一容方,二积相等。馀勾馀股相乘亦得容积之数):勾股相乘为实,并勾股为法,除之,得勾中容方。(积内有一容直,故用勾除横积并股除直积得所容方也。)以容直或方外馀勾股相乘得容积之实,(勾股中直积一段,大勾股一段,小勾股一段。)如馀勾而一,得股长,如馀股而一,得勾阔①。
《九章算术·勾股》宋·贾宪细草
(载《宜稼堂丛书》本杨辉《详解九章算法》)
〔注〕①杨辉《详解九章算法·九章纂类》将此法分成两法,“以容直”以下称为“馀勾股求容积法”。
【评】此法前半段是《九章算术》勾股容方公式的改写。值得注意的是贾宪两个自注,前者提出了一个重要原理:一长方形分成二勾股形,则从弦上一点出发的容方容直面积相等;后者提出容方新公式:。法的后半段给出三个公式:容积=馀勾×馀股;股=;勾=。贾宪称之为“勾股旁要法”。按:“旁要”系古“九数”之一 ,后并入“勾股”,其确切涵义和内容不得而知,贾宪的说法提供了理解“旁要”的一个线索。
直田之长名股,其阔名勾,于两隅角斜界一线,其名弦。弦之内外分二勾股,其一勾中容横,其一股中容直。二积之数皆同①。以馀勾除横积得积外之股,以馀股除直积得积外之勾,二者相通。
宋·杨辉《续古摘奇算法》
【评】这是勾股容方问题的发展。杨辉的概括比贾宪更具普遍性,它在以出入相补原理证明勾股、测望问题中有重大作用。