今有邑,东西七里,南北九里,各中开门。出东门一十五里有木。问出南门几何步而见木?
术曰:东门南至隅步数,以乘南门东至隅步数为实。以木去门步数为法。实如法而一。
汉《九章算术·勾股》
此以东门南至隅四里半为勾率,出东门一十五里为股率,南门东至隅三里半为见股。所问出南门即见股之勾。
《九章算术·勾股》三国魏·刘徽注
【评】《九章算术》有八个一次测望问题,其中有五个城邑问题,此其一。设邑东西长2b,南北长2a′,东门至木为b′,则出南北见木步数a=ba′/b′。刘徽应用相似勾股形对应边成比例的原理,证明了《九章》算法的正确性,其他问题类此。
今有木去人不知远近。立四表,相去各一丈,令左两表与所望参相直①。以后右表望之,入前右表三寸。问木去人几何?
术曰:令一丈自乘为实,以三寸为法,实如法而一②。
汉·《九章算术·勾股》
[注]①参相直即三点在一直线上。②设表相距为b,入前右表为a,则木去人d=。
今有山居木西,不知其高。山去木五十三里,木高九丈五尺。人立木东三里,望木末,适与山峰斜平。人目高七尺。问山高几何?
术曰:置木高,减人目高七尺。馀,以乘五十三里为实。以人去木三里为法。实如法而一。所得,加木高,即山高①。
汉·《九章算术·勾股》
[注]①设人目高h1,木高h2,人去木b1,山去木b,则山高h=
【评】这是《九章算术》提出的立四表望远及因木望山之术。刘徽都用相似勾股形对应边成比例的原理证明了它们的正确性。这些测望问题都比较简单,所谓“皆端旁互见”,无有超邈之类。