开方作法本源(杨辉注:出释锁算书①,贾宪用此术。)
增乘方求廉法草曰(原注:释锁求廉本源):列所开方数(原注:如前,五乘方列五位,隅算在外。)以隅算一,自下增入前位,至首位而止。(原注:首位得六,第二位得五,第三位得四,第四位得三,下一位得二。)复以隅算如前升增,递低一位求之。
宋·杨辉《详解九章算法》引贾宪说(《永乐大典》卷一六三四四)
[注]①此为一书名,抑或指讨论开方的数学书,书简有缺,不可得而定。
【评】开方作法本源系贾宪首创,今称贾宪三角,西方十七世纪出现的巴斯加三角与此相同。其每一行都是某次幂的二项展开式的系数。增乘方求廉法给出了求各项系数的一般程序,由此可知,贾宪已能求出任意层数的贾宪三角,能开任意高次的方,而且,求廉的增乘方法即随乘随加方法开辟了开方运算的新蹊径。实际上,在中国数学史上,贾宪三角的主要意义不在于开方,而在于垛积。元朱世杰《四元玉鉴》的“古法七乘方图”,用两组分别平行于左斜、右斜的直线将1,1,1,1,……;1,2,3,4,……;1,3,6,10,……;1,4,10,20,……;……连结起来,这些数列恰恰是朱氏所解决的各种垛积的各项,说明朱氏各种垛积公式即高阶等差级数求和问题的解决与贾宪三角有密切关系。在此基础上,清数学家项名达、李善兰等又创造了各种数字三角形,都可以称为增广贾宪三角,清代数学家借此解决了各种更为复杂的垛积问题。