(斜荡求积)术曰:以少广求之。置中长,乘北阔,半之,为寄。以中长幂减西斜幂,馀为实,以一为隅,开平方,得数,减北阔,馀自乘,并中长幂,共为内率。以小斜幂,并率,减中斜幂,馀半之,自乘于上。以小斜幂乘率,减上,馀,四约之,为实。以一为隅。开平方,得数。加寄,共为荡积。
宋·秦九韶《数书九章·田域类》
【评】秦九韶应用三斜求积方法,给出了四不等边形面积的正确方法。
《五曹》四不等田东三十五步,西四十五步,南二十五步,北一十五步,问田几何。
答称三亩八十步,非。实三亩四十步三尺九分六厘八毫七丝半。
田围四面不等者,必有斜步,然斜步岂可作正步相并?今以一寸代十步为图以证四不等田不可用“东西相并、南北相并,各折半相乘”之法。
如遇此等田势须分两段取用。
宋·杨辉《田亩比类乘除捷法》
【评】杨辉正确地批评了《五曹》四不等田求法的错误。他提出的分段取用的作法是求不规则图形面积的正确方法。
今有腰鼓田两头各广八步,中广四步,正从一十二步,问田几何?
腰鼓田乃梯田二段,上阔相顶。
《应用算法》:倍中阔作八步,并两阔一十六步,共二十四步,以正从乘得二百八十八步,以四除之。
鼓田:两头各广四步,中广八步,正从十二步。问田几何?
鼓田乃梯田二段,下阔相抵。
《五曹算法》乃并三广,以正从乘而三除,误矣。
三广田:一头广四步,一头广六步、中广八步,正从一十二步,问田几何?
倍中阔为十六,并两广十步,共二十六,用长十二乘,得三百一十二,以四除之。
三广田乃小梯田一段,大梯田一段,下阔相抵。
或遇此等田势,中阔在正中,可用此术。中阔若偏近一头,只得作两段求,庶不错误。
宋·杨辉《田亩比类乘除捷法》
【评】六世纪甄鸾《五曹算经》提出了“鼓田”、“腰鼓田”的错误公式,杨辉批评了《五曹》的错误,提出了正确的算法,惜未引起重视,《五曹算经》之谬种流传,直至明、清。