术曰:并三广,以深乘之,又以袤乘之,六而一。
汉《九章算术·商功》
按:此术羡①除,实隧道也。其所穿地,上平下邪,似两鳖腝夹一堑堵,即羡除之形。
《九章算术·商功》三国魏·刘徽注
[注]①羡,通“埏”,墓道。
【评】此二段分别是《九章算术》所提出羡除的体积公式:
V=(a1+a2+a3)lh(其中a1,a2,a3,l,h分别为下广、上广、末广、长、高[或深])以及刘徽对羡除形状的说明。
假令用此棋:上广三尺,深一尺,下广一尺;末广一尺,无深;袤一尺。下广、末广(原本脱此二字,李潢补)皆堑堵;上广者,两鳖腝与一堑堵相连之广也。以深、袤乘,得积五尺。鳖腝居二,堑堵居三,其于本棋,皆一为六,故六而一。
凡堑堵上袤短者,连阳马也;下袤短者,与鳖腝连也;上[原本脱此字,依意补]下两袤相等知,亦与鳖腝连也。并三广,以高、袤乘,六而一,皆其积也。今此羡除之广,即堑堵之袤也。
《九章算术·商功》三国魏·刘徽注
【评】此为刘徽所记解决有两广相等的羡除的情形。
按:此本是三广不等,即与鳖腝连者。别而言之:中央堑堵广六尺,高三尺,袤七尺。末广之两旁,各一小鳖腝,皆与堑堵等。令小鳖腝居里,大鳖腝居表,则大鳖腝皆出随①方锥。
《九章算术·商功》三国魏·刘徽注
[注]随,通椭,椭方锥指长方锥。又,“皆”原在“随”字下,笔者校正。
【评】此为刘徽对三广不等的羡除体积公式的证明,其关键部分是从一个椭方锥中分离出羡除所含的大鳖腝,见鳖腝条。