故折矩以为勾广三,股修四,径隅五。既方之外,半其一矩,环而共盘,得成三、四、五。两矩共长二十有五,是谓积矩。
汉《周髀算经》卷上
若求邪至日者,以日下为勾,日高为股。勾、股各自乘,并而开方除之,得邪至日。
汉《周髀算经》卷下
【评】这是《周髀算经》中有关勾股定理的记载。前者据传是
周公与商高问答的内容,只是一个特例,尚不能称为勾股定理;后者出自陈子答荣方问,已有勾股定理的较为抽象的形式。
勾股术曰:勾、股各自乘,并,而开方除之,即弦。
又,股自乘,以减弦自乘,其馀,开方除之,即勾。
又,勾自乘,以减弦自乘,其馀,开方除之,即股。
汉《九章算术·勾股》
【评】此为勾股定理在中国第一次完整的抽象表述:,其中a,b,c分别为勾、股、弦。西方称之为毕达哥拉斯定理,是中国古代数学一重要分支——勾股理论的基础。
勾股之法,先知二数,然后推一。见勾、股,然后求弦,先各自乘,成其实。实成势化,尔乃变通,故曰:“既方其外”。或并勾、股之实以求弦。弦实之中乃求勾、股之分并。实不正等,更相取与,互有所得。故曰“半其一矩”。
《周髀算经》赵爽注
【评】此为赵爽对商高勾三股四弦五的注,阐明了勾股定理的一般形式。
短面曰勾,长面曰股,相与结角曰弦。勾短其股,股短其弦。将以施于诸率,故先具此术以见其源也。
《九章算术·勾股》三国魏·刘徽注
【评】此为刘徽对勾、股、弦的界说,并阐明了勾股定理对勾股理论的意义。
勾自乘为朱方,股自乘为青方,令出入相补,各从其类,因就其馀不动也,合成弦方之幂。开方除之,即弦也。
《九章算术·勾股》三国魏·刘徽注
然二幂之数谓倒在于弦幂之中而已,可更相表里,居[原本脱“表里居”三字,李潢补]里者则成方幂,其居表者则成矩幂。二表里形讹而数均。又按:此图,勾幂之矩青,卷白表,是其幂以股弦差为广,股弦并为袤,而股幂方其里。股幂之矩青,卷白表,是其幂以勾弦差为广,勾弦并为袤,而勾幂方其里。是故差之与并用除之,短长互相乘也。
《九章算术·勾股》三国魏·刘徽注
【评】此两条,前者为刘徽用出入相补原理对勾股定理证明的提示;后者指出勾(股)方与股(勾)矩合成弦方,在解勾股形中用处极大。