术曰:上下周相乘,又各自乘,并之,以高乘之,三十六而一。
汉《九章算术·商功》
【评】这是已知圆台的上下周和高,求其体积的公式:V=(l1 l2+l12+l22)h,其中l1,l2,h分别是圆台的上周,下周和高。它以周三径一为率,因而是不准确的。
此术周三径一之义,合以三除上下周,各为上下径,以相乘,又各自乘,并,以高乘之,三而一,为方亭之积。假令三约上下周俱不尽,还通之,即各为上下径。令上下径[原本此处衍“分母”二字,戴震删]相乘,又各自乘,并,以高乘之,为三方亭之积分。此合分母三相乘得九,为法除之,又三而一,得方亭之积。从方亭求圆亭之积〔原本缺此八字,戴震补〕,亦犹方幂中求圆幂。乃令圆率三乘之,方率四而一,得圆亭之积。前求方亭之积,乃以三而一。今求圆亭之积,亦合三乘之。二母既同,故相准折。惟以方幂四乘分母九,得三十六,而连除之。
于徽术当上下周相乘,又各自乘,并,以高乘之,又二十五乘之,九百四十二而一。此圆[原本作“方”,依李潢校正]亭四角圆杀,比于方亭,二百分之一百五十七。为术之意,先作方亭,三而一。则此据上下径为之者,当又以一百五十七乘之,六百而一也。今据周为之,若于圆堢,又以二十五乘之,三百一十四而一,则先得三圆亭矣。故以三百一十四为九百四十二而一,并除之。
《九章算术·商功》三国魏·刘徽注
【评】此为刘徽对《九章算术》圆台公式的证明,以π≈157/50对公式的修正,并提出用上下径求体积的公式:
V=(d1d2+d12+d22)h。其中提出圆台与外切方台体积之比为π∶ 4的原理,是后来祖暅之原理的滥觞。