今有四角落一形果子积五百四十个,问底子几何?
术曰:立天元一为四角落一底子,如积求之,得六千四百八十为益实,二为从方,五为从上廉,四为从下廉,一为正隅,三乘方开之①,合问。
草曰:立天元一为四角落一底子,加一得,乘天元,得,又以天元加一乘之,得,又以天元加二乘之,得合以十二除之,为共积②。今不除,便为带分共积,(原注:内寄十二为母。)寄左。乃以十二通共积,得六千四百八十为同数,消左,得,开三乘方,得八个,合问。
元·朱世杰《四元玉鉴·果垛叠藏》
[注]①此为四次开方式x4+4x3+5x2+2x-6480=0。②此为三阶等差级数1,5,14,30,55,……的前n项之和公式。杨辉已求出方锥形果子垛即朱世杰的四角垛公式S=n(n+1)(n+)=n(n+1)(2n+1)。将它的前r项之和作为一级数的第r项,便是四角落一形垛。其前n项之和公式为
【评】这是朱世杰关于四角垛的研究,它比三角垛更复杂一些。